\documentclass[a4paper,UTF8]{article}
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\newcommand{\weiyuan}[1]{\ensuremath{\mathrm{d}} #1}
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\begin{document}
\section{静电场库仑定律}
$$F=\frac{1}{4\pi\varepsilon_0}\frac{q_1q_2}{r^2}$$
需要指出的是库仑定律的成立条件必须是两个相对于参考系静止的电荷，而在这种情况下库仑定律才成立；在低速情况下可视为近似成立.
\subsection{电荷与引力质量、库仑定律与万有引力定律}
形式上与万有引力定律相似；具有相同的数学性质，但：
\begin{itemize}
    \item 库伦定律是精确成立，而根据广义相对论效应，万有引力势能可以写为：
    $$U(r)=-\frac{GMm}{r}-\frac{2}{3}\frac{v^2}{c^2}\frac{GMm}{r}-\dots$$
    后面的部分被称为后牛顿项.
    \item 电荷的大小不随速度改变，且不随参考系的变化而改变，但根据相对论效应，有：
    $$m=\frac{m_0}{\sqrt{1-\frac{v^2}{c^2}}}$$
    \item 库仑力既可以有吸引力，也可以有排斥力，因此存在静电屏蔽，但万有引力只可以有吸引力，万有引力不可被屏蔽.
    \item 电荷是量子化的，即电荷量一定是电子的电荷 $e=1.602\times 10^{-19} C$ 的整数倍，而质量是连续的.
\end{itemize}
\section{电场强度与电场的高斯定律}
\subsection{电场强度的定义}
将一个试探电荷 $q_0$ 放入电场中，若其在某处受到的力为 $\vec{f}$ ，则在此处的电场为：
$$\vec{E}=\frac{\vec{f}}{q_0}$$
需要指出的是，尽管电场看上去是一个认为定义的量，但电场是真实存在的，它也存在能量和动量；电场的建立需要时间，其速度为光速，因此电荷之间的作用是近距作用；只有考虑了场的能量和动量，能量守恒与动量守恒才被严格地满足.
\subsection{点电荷的电场、电场的叠加}
$$E=\frac{1}{4\pi\varepsilon_0}\frac{Q}{r^2}$$
多个力的共同作用为力的矢量和，因此电场的叠加就是把空间每一点每个点电荷的在此处的电场做矢量叠加.
\subsection{高斯定律}
在空间中取任意一个面 $S$，其包裹的空间为 $V$ ，有：
$$\varepsilon_0\oiint_{S}\vec{E}\cdot\weiyuan{\vec{S}}=\sum_{V} q$$
这是麦克斯韦方程的第一个方程.
\subsubsection{再探点电荷电场}
\subsubsection{均匀带电绝缘线的电场}
\subsubsection{圆筒套与圆柱}
\subsection{电场的能量}
$$w=\frac{1}{2}\varepsilon_0 E^2$$
\section{电势与环路定理}
库仑力是保守力，可以根据库仑力构造电势能场；取一试探电荷 $q_0$ ，则电势有：
$$\varphi=\frac{E_p}{q_0}$$
立即可以得到：
$$\vec{E}=-\nabla\cdot \varphi$$
式中 $\nabla=\frac{\partial }{\partial x}\vec{i}+\frac{\partial}{\partial y}\vec{j}+\frac{\partial}{\partial z}\vec{k}$\\
利用保守力的特性，我们立刻可以得到：
$$\oint_l \vec{E}\cdot\weiyuan{\vec{s}}=0$$
\section{导体与介质}
\subsection{导体、静电平衡、电像法}
$$E=\frac{\sigma_e}{\varepsilon_0}$$
无限长平面：
$$q'=-q_0,x'=-x$$
球体：
$$q'=-\frac{R}{d}q,x=\frac{R^2}{d}$$
\subsection{介质、电容器}
$$Q=CU$$
$$C=\frac{\varepsilon S}{d}=\frac{\varepsilon_0\varepsilon_r S}{d}$$
\subsection{静电能}
自能与互能.
\subsection{例题}
电偶极子.
\end{document}
